Üye olmak zorunda değilsiniz,Linkler Açıldıl

Etiketlenen üyelerin listesi

Arkadaşlar matematik dönem ödevim var 1-2 ay süre var ama şimdiden başlayıp en güzel şekilde yapmak istiyorum.Konu; Köklerle katsayılar arasındaki bağıntılar ==> Değişik kaynaklardan 15 tane öss sorusu Ve Formüller Yardımlarınızı ßekliyorum.. =)
  1. #1
    PREST!J - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Demirbaş Üye
    Üyelik tarihi Jan 2010
    Nereden AnkaraGücü..
    Mesajlar 1.177
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart Köklerler Katsayılar Arasındaki Bağıntılar

    Arkadaşlar matematik dönem ödevim var 1-2 ay süre var ama şimdiden başlayıp en güzel şekilde yapmak istiyorum.Konu;
    Köklerle katsayılar arasındaki bağıntılar ==> Değişik kaynaklardan
    15 tane öss sorusu
    Ve Formüller


    Yardımlarınızı ßekliyorum.. =)

  2. #2
    Ď£P®£M - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Forumdan Uzaklaştırıldı
    Üyelik tarihi Dec 2009
    Mesajlar 9.516
    Blog Entries
    41
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart

    A. TANIM

    a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

    ax2 + bx + c = 0

    biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

    Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

    B. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

    1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

    ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

    biçiminde yazılabiliyorsa

    f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

    Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

    2. Diskiriminant (D) Yöntemi

    ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve

    D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

    ax2 + bx + c = 0

    denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

    a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.



    c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.



    Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

    Ü ax2 + bx + c = 0

    denkleminin kökleri simetrik ise,

    1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

    2) Simetrik kökleri gerçel ise,

    b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

    C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

    ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri

    x1 ve x2 ise,


    D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

    Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

    (x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

    x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.

    Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve
    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,


    Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0
    denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

    ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

    (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

    Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.
    ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

    A. TANIM

    a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

    B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

    a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,



    C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

    Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

    (x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

    Bu denklem düzenlenirse,

    x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0

    olur.

    Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri

    x1, x2, x3 olsun.

    1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

    x1 + x3 = 2x2 dir.

    2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

    3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

    x1 = x2 = x3 tür.

    n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

    anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0
    Konu Ď£P®£M tarafından (03-01-2010 Saat 10:25 PM ) değiştirilmiştir.
  3. #3
    Ď£P®£M - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Forumdan Uzaklaştırıldı
    Üyelik tarihi Dec 2009
    Mesajlar 9.516
    Blog Entries
    41
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart

    İkinci Dereceden Denklemler

    İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

    TANIMLAR :

    a, b, c Î R ve a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

    Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.
    Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.
    Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.
    UYARI


    Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.
    İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

    İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.
    ÖRNEKLER :

    Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
    1. 3x2 – 5x = 0 2. x2 – x – 6 = 0 3. 2x2 + x – 1 = 0
    ÇÖZÜMLER :


    1. 3x2 – 5x = 0 2. x2 - x - 6 = 0 3. 2x2 + x - 1 = 0

    x . (3x – 5) = 0 (x - 3) . ( x + 2) = 0 (x + 1) . (2x - 1) = 0
    x = 0 V 3x – 5 = 0 x - 3 = 0 V x + 2 = 0 x + 1 = 0 V 2x - 1 = 0
    x = x = 3 x =-2 x =-1 x =
    Ç = { 0, } Ç = {-2,3} Ç = {-1,}
    ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

    ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

    ax2 + bx + c = a = a
    (x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).
    =

    =

    = a = 0 ise

    ==

    ==

    =

    o halde x1ve x2= elde edilir.
    Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir.


    TANIM :

    ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

    Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur.

    Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır.

    İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde D= b2 - 4ac iken

    1. D> 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.



    • Bunlar x1 = dır.

    UYARI

    a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D> 0 dır.


    1. D= 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.


    Bunlar dır.

    D= 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur.


    1. D< 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

    İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

    ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b’ = Bu durumda, D= (b’)2 - ac

    x1

    ÖRNEKLER :
    Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

    1. x2 + 3x - 1 = 0 2. 2x2 - 3x + 10 = 0 3. x2 - 2

    ÇÖZÜMLER :


    1. x2 + 3x - 1 = 0 2. 2x2 - 3x + 10 = 0

    a = 1, b = 3, c =-1 a = 2, b =- 3, c= 10
    D= (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13 D= (-3)2 - 4.2.10 = 9 - 80 =-71
    D< 0 olduğundan Ç =Æ dir.
    x1,2 =

    Ç =



    1. x2 - 2+ 3 = 0


    • a = 1, b =-2 , c = 3


    • b’ =


    • D=


    • x1,2 =


    • Ç =


    İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

    1. ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER


    P(x).Q(x) = 0 Û P(x) = 0 V Q(x) = 0


    ÖRNEKLER :
    Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
    1. 2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0 2. 3(x - 4)2 - 48 = 0
    ÖRNEKLER :

    1. 2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0 2. 3(x - 4)2 - 48 = 0


    x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0 3[(x - 4)2 - 16] = 0 Ş (x - 4)2 - 42 = 0
    (2x + 3) (x2 - 9) = 0 (x - 4) - 4 = 0 V (x - 4) + 4 = 0
    (2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0 x - 8 = 0 x = 0
    2x + 3 = 0 V x - 3 = 0 V x + 3 = 0 x = 8
    x =- x = 3 x =-3 Ç = {0, 8}
    Ç =


    1. RASYONEL DENKLEMLER

    = 0 Û P(x) = 0 L Q(x) ¹ 0
    ÖRNEK:
    denkleminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:

    (1) (2x - 1) (x + 4) (2x - 1) (x + 4)

    27 + 4x2 - 2x = 6x + 24 - 2x2 - 7x + 4
    6x2 - x - 1 = 0 Ş (2x - 1) (3x + 1) = 0
    x = x = Ç =

    1. YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER


    • (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

    ÖRNEK: x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

    ÇÖZÜM:

    x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur.

    Buradan denklem
    t2 + 26t - 27 = 0 biçimine dönüşür.
    Ş (t + 27) . (t - 1) = 0
    t + 27 = 0 V t - 1 = 0
    t =-27 t = 1
    x3 =-27 x3 = 1
    x =-3 x = 1

    Ç = {-3,1}

    1. KÖKLÜ DENKLEMLER



    • n Î N+ ve P(x) Î R[x] olmak üzere


    1. ifadesi "x Î R için tanımlıdır
    2. ifadesi, P(x) ³ 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.


    Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:


    1. Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.
    2. Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.
    3. Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.


    ÖRNEK:
    denkleminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:
    eşitliğinin sağlanması için,
    x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³ 0 Ş x ³-4 olmalıdır.

    x + 6 = x2 + 8x + 16 Ş x2 + 7x + 10 = 0
    (x + 5) (x + 2) = 0 Ş x =-5 V x =-2
    Ş Ç = {-2}

    1. ÜSLÜ DENKLEMLER

    ÖRNEK:
    denkleminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:
    dir.
    (x+3) (x-2) = 0 Ş x + 3 = 0 V x - 2 = 0
    Ş x =-3 x = 2
    Ç = {-2, 3}
    F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
    Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.
    n Î N+


    ÖRNEK:
    x2 - |x|- 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:
    x2 - |x| - 2 = 0

    • x2 - (-x) - 2 = 0
    • x2 + x - 2 = 0
    • (x + 2) . (x - 1) = 0


    • x =-2 x = 1


    • Ç1 = {-2}

    x ³ 0 Ş |x| = x dir.

    • x2 - x - 2 = 0


    • (x - 2) (x + 1) = 0


    • x = 2 V x =-1


    • Ç2 = {2}

    Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.
    DENKLEM SİSTEMLERİ
    ÖRNEK:
    sisteminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:
    x + y = 20 Ş y = 20 - x, x .y = 64 Ş x . (20 - x) = 64
    20x - x2 = 64 Ş x2 - 20x + 64 = 0
    Ş (x - 16) (x - 4) = 0, x1 = 16 V x2 = 4
    Ş y1 = 20 - 16 Ş y2 = 20 - 4
    y1 = 4 y2 = 16
    Ç = {(16, 4) , (4, 16)}
    ÖRNEK:
    sisteminin çözüm kümesi nedir?
    ÇÖZÜM:

    2x - 3y = 12 Ş









    Ç
    =

    PAREMETRELİ DENKLEMLER
    İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir.
    Örneğin; mx2
    -
    (m
    -
    1)x
    -
    2m
    +
    3
    =
    0 denklemindeki parametre m ; 2x2
    -
    (a
    -
    b)x
    +
    a . b
    =
    0 denklemindeki parametreler a ve b dir.
    ÖRNEK:
    (m
    -
    3)x2
    -
    2mx
    +
    3(m
    -
    1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (
    -
    1) ise m kaçtır?
    ÇÖZÜM:
    (m
    -
    3)x2
    -
    2mx
    +
    3(m
    -
    1)
    =
    0
    x
    =

    -
    1 için (m
    -
    3) (
    -
    1)2
    -
    2m(
    -
    1)
    +
    3(m
    -
    1)
    =
    0
    m
    -
    3
    +
    2m
    +
    3m
    -
    3
    =
    0
    6m
    =
    6
    Ş
    m
    =
    1
    ÖRNEK:
    mx2
    -
    2(m
    -
    1)x
    +
    m
    -
    5
    =
    0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

    ÇÖZÜM:
    x1
    =
    x2 ise
    D

    =
    0 olmalıdır.
    Ş
    (b’)2
    -
    ac
    =
    0
    D
    [
    -
    (m
    -
    1)]2
    -
    m(m
    -
    5)
    =
    0
    m2
    -
    2m
    +
    1
    -
    m2
    +
    5m
    =
    0
    Ş
    m
    =

    UYARI
    İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

    ÖRNEK:
    denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
    ÇÖZÜM:

    1. YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

    3 / 2x2
    -
    (n
    -
    1)x
    -
    m
    +
    6
    =
    0
    2 / 3x2
    -
    2x
    +
    2m
    -
    1
    =
    0

    Ş

    -
    3(n
    -
    1)
    =

    -
    4 ve
    -
    3m
    +
    18
    =
    4m
    -
    2
    7m
    =
    20
    m
    =


    İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

    ax2
    +
    bx
    +
    c
    =
    0 denkleminin diskriminantı
    D

    =
    b2
    -
    4ac ve kökleri ve idi.
    Buna göre ;

    1. Köklerin toplamı :
    2. Köklerin çarpımı :
    3. Köklerin farkı :
    4. Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
    5. Köklerin karelerinin toplamı :


    6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :


    7. Köklerin küplerinin toplamı :


    1. Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :


    UYARI
    Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

    ÖRNEK:
    2x2
    -
    4x
    +
    m
    -
    3
    =
    0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
    x12
    +
    x22
    =
    4 ise m kaçtır?

    ÇÖZÜM:
    Denklemde a
    =
    2, b
    =

    -
    4, c
    =
    m
    -
    3 dür.
    x12
    +
    x22
    =
    4
    Ş

    =



    16 - 4m + 12 = 16
    m = 3
    ÖRNEK:
    2x
    2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
    ÇÖZÜM:
    Denklemin kökleri x
    1, x
    2 olsun.
    İstenen bağıntı (x
    1 - 3) . (x
    2 - 3) dür.
    Buna göre;
    (x
    1 - 3) . (x
    2 - 3) = x
    1x
    2 - 3x
    1 - 3x
    2 + 9
    = x
    1 . x
    2 -3 . (x
    1 + x
    2) + 9 =
    = olur.
    K
    Ö
    K
    LER
    İ

    VER
    İ
    L
    EN DENKLEM
    İ

    BULMAK
    Kökleri x
    1, x
    2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x
    1) . (x - x
    2) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x
    2 - (x
    1 + x
    2) . x + (x
    1 . x
    2) = 0 denklemi elde edilir.
    ÖRNEK:
    Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
    ÇÖZÜM:
    olduğundan denklem,
    x
    2 - (x
    1 + x
    2) . x + (x
    1 . x
    2) = 0 Ş x
    2 - (-1) . x + (-6) = 0
    Ş x
    2 + x - 6 = 0 dır.

    ÖRNEK:
    Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x
    1 = 3 - dir. Bu denklem nedir?
    ÇÖZÜM:
    UYARI
    a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax
    2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü x
    1 = p + ise x
    2 = p - dur.
    Buna göre x
    1 = 3 - ise x
    2 = 3 + dür.

    dir.
    Denklem, x
    2 - (x
    1 + x
    2)x + (x
    1 . x
    2) = 0
    x
    2 - 6x + 7 =0 olur.
  4. #4
    PREST!J - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Demirbaş Üye
    Üyelik tarihi Jan 2010
    Nereden AnkaraGücü..
    Mesajlar 1.177
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart

    Çok sağol abi
  5. #5
    4tackstyL3 - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Demirbaş Üye
    Üyelik tarihi Jan 2010
    Nereden Gölgenden Bile Şüphe Et !
    Yaş 22
    Mesajlar 8.432
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart

    Çözüldüğüne Göre Konuyu Kapatıyorum.

    / Konu Kilit
    ~





    Benden Özür Dileme Kılıcım !
    Seni Başkalarına Saplayan Bendim !




    Evine Haciz GeLmiş FakirLer Gibi; Çok Koydu Giderken GötürdükLerin. Hiç DeğiLse GüLüşümü Bıraksaydın, Ana Yadigarıydı.. !

  6. #6
    Ď£P®£M - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
    Forumdan Uzaklaştırıldı
    Üyelik tarihi Dec 2009
    Mesajlar 9.516
    Blog Entries
    41
    Bahsedilmiş
    0
    Takip edilen
    0

    Standart

    Konu Çözülmüştür

    Kilit

Konu Bilgileri

Users Browsing this Thread

Şu an 1 kullanıcı var. (0 üye ve 1 konuk)

Yetkileriniz

  • Konu Acma Yetkiniz Yok
  • Cevap Yazma Yetkiniz Yok
  • Eklenti Yükleme Yetkiniz Yok
  • Mesajınızı Değiştirme Yetkiniz Yok
ForumFokurtu.CoM

Url List Google Sitemap

Sitemiz; hukuka, yasalara, telif haklarına ve kişilik haklarına saygılı olmayı amaç edinmiştir. 5651 sayılı yasaya göre, site yönetiminin hukuka aykırı içerikleri kontrol etme yükümlülüğü yoktur. Bu sebeple sitemiz, "uyar ve kaldır" prensibini benimsemiştir. Yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahipleri veya meslek birlikleri abuse[at]forumfokurtu[dot]com mail adresinden yada İletişim bölümünden bizlere ulaşabilirler.